Soit .Par définition, est inversible, donc il existe tel que .
Donc, en particulier car les degrés sont des entiers naturels. On en déduit le résultat voulu.

d'où
d'où et sont des diviseurs de 1

avec
avec

Soient dans tels que : et Alors ,
et ,
d'où ,
et donc ,

On sait que .

On a et est un entier car les quotients sont des entiers, donc a - b est un multiple de n.

On peut vérifier que r soit bien le même reste pour les deux divisions euclidiennes.

(avec ) et (avec ).

On remplace a, (avec ).

r est bien le reste de b dans la division euclidienne par n.

'''(1)''' (avec
(avec
En sommant, on obtient :


Ainsi,   est divisible par   .
Donc  
'''(2)''' Reprenons les notations du '''(1)''' et évaluons   .


.
Par conséquent   est divisible par   .
Donc   '''(3)''' On utilise l'égalité suivante:
pour

Démonstration de la seconde définition

Si avec , alors (car ).Donc est le reste de la division de par d'après l'unicité de l'écriture. Avec les notations utilisées au paragraphe [[#Algorithme d'Euclide]] et en multipliant chaque membre des égalités par , on obtient :

tel que . De même, tel que .Donc : Or

Le principe de cette démonstration est de démontrer l'équivalence de la négation de ces propositions:
sont équivalentes les propositions suivantes :
# x₀ et x₁ sont linéairement '''dépendantes'''# #

Posons . est une application linéaire, car est une équation différentielle linéaire.
L'équation différentielle devient alors : Soit y₀ une solution particulière de , on a alors
Soit , car application linéaire.On a donc : On a de plus dim S = dim S₀ = 2, d'où le résultat.

Démonstration

* '' est une forme bilinéaire symétrique :''En effet, pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''E'', comme ''J'' est un symplectique, il vient : ;* '' est un produit hermitien :''Le calcul est similaire : . On montre ainsi que est sesquilinéaire. Par ailleurs, est visiblement défini positif : pour tout vecteur non nul ''v'', on a : .

* ''Existence :'':Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : . La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe ω compatible.:Par construction, les endomorphismes ''J'' ainsi obtenus sont exactement toutes les structures complexes ω-compatibles, et dépendent continument du produit euclidien ''g''. De fait, l'espace ''I''(''V'') est l'image continue de l'espace des produits euclidiens sur ''V''. De fait, il est connexe.* ''Action par conjugaison :'':A compléter ...

Toutes les résistances, puisqu'étant en parallèle, sont obligatoirement soumises à la même tension ''u'' :* La résistance {{numéro}}1 répond à la loi d'Ohm par : * La résistance {{numéro}}2 répond à la loi d'Ohm par : * La résistance {{numéro}}3 répond à la loi d'Ohm par : * ...* La résistance n^on répond à la loi d'Ohm par : Pour la résistance équivalente :* La résistance répond à la loi d'Ohm par : Le circuit nous permet d'écrire :

Par le théorème de Cayley, l'action de ''G'' sur lui-même par translation à gauche définit un morphisme injectif de ''G'' dans le groupe des permutations ''S''(''G''). Si ''n'' est le cardinal de ''G'', alors ''S''(''G'') s'injecte dans . La remarque préliminaire donne l'existence d'un ''p''-Sylow ''S'' de ''H''. Le lemme précédent permet d'en déuire l'existence d'un sous-groupe de ''H'' conjugué à ''S'', intersectant ''G'' selon un ''p''-Sylow de ''G''.

* Maximalité : Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' et ''S'' un ''p''-Sylow de ''G'', le lemme précédent donne l'existence d'un élément ''g'' de ''G'' tel que soit un ''p''-Sylow de ''H''. Mais si ''H'' est un ''p''-groupe, ''H'' est l'unique ''p''-Sylow de ''H''. Donc, ''H'' est inclus dans qui est un ''p''-Sylow de ''G'' conjugué à ''S''.* Tous les ''p''-Sylow de ''G'' ont (par définition) le même cardinal. En particulier, si ''H'' est un ''p''-Sylow, alors ''H'' est égal à . Les ''p''-Sylows de ''G'' sont deux à deux conjugués.* Donc, le groupe ''G'' opère transitivement sur l'ensemble ''X'' des p-Sylow de ''G''. L'équation aux classes montre que le cardinal de ''X'', le nombre de ''p''-Sylows de ''G'' divise le cardinal de ''G''.* Considérons l'action d'un ''p''-Sylow sur ''X'' par con

Soit ''p'' un nombre premier tel que P soit un p-sous-groupe de Sylow de G. Soit ''x'' un élément de G normalisant H, c'est-à-dire tel que xHx{{exp|-1}} = H. Il s'agit de prouver que ''x'' appartient à H. Le sous-groupe xPx{{exp|-1}} de G est équipotent à P et est donc un p-sous-groupe de Sylow de G. De plus, xPx{{exp|-1}} est contenu dans H (puisque P est contenu dans H et que xHx{{exp|-1}} = H). Donc xPx{{exp|-1}} est un p-sous-groupe de Sylow de H. Comme P est lui aussi un p-sous-groupe de Sylow de H, xPx{{exp|-1}} est donc conjugué de P dans H. Il existe donc un élément ''h'' de H tel que xPx{{exp|-1}} = hPh{{exp|-1}}. Alors h{{exp|-1}}xPx{{exp|-1}}h = P, donc h{{exp|-1}}x appartient à N_G(P) et, a fortiori, à H. Puisque ''h'' appartient à H, il en résulte que ''x'' appartient à H, comme annoncé.

Considérons un volume élémentaire parallélépipédique de fluide de dimensions dx, dy et dz suivant les axes cartésiens (orientés comme sur le schéma).On cherche la condition d'équilibre de ce système, on veut donc appliquer le principe fondamental de la statique.Ce système est soumis à l'action de son poids, , et à l'action de pression sur chacune de ses parois :* * * Le principe fondamental de la statique s'écrit alors : ...

Démonstration sans les outils d'algèbre vectorielle

Supposons avoir un maximum de potentiel en un point M en lequel il n'y a pas de charge.Comme , est dans le sens des potentiels décroissants donc il existe des lignes de champ qui partent de M. Si l'on prend une surface entourant M infiniment proche de M, est traversée par des lignes de champ sortantes, donc .Donc, d'après le théorème de Gauss il existe une charge à l'intérieur de , ce qui est absurde.

Soit ''x'' un élément de E; prouvons que ''x'' admet au plus un symétrique. Soient ''y'' et ''z'' des symétriques de ''x''; il s'agit de prouver que y = z. Puisque la loi est supposée associative, nous avons Puisque ''y'' et ''z'' sont des symétriques de ''x'', nous pouvons remplacer et par l'élément neutre ''e'', d'où , autrement dit z = y, comme annoncé.On dit donc « le » symétrique de ''x''. Il est clair que le symétrique du symétrique de ''x'' est ''x'' lui-même. En notation multiplicative :

Soit un monoïde d'élément neutre noté . Soit ''a'' un élément inversible de M. Prouvons que ''a'' est simplifiable à gauche. Soient ''x'' et ''y'' des éléments de M tels que . Il s'agit de prouver que . Comme ''a'' est inversible, il existe ''b'' appartenant à M tel que . L'hypothèse entraîne . L'associativité nous permet d'écrire . ''b'' étant l'inverse de ''a'', on en déduit et donc , comme annoncé, ce qui prouve que ''a'' est simplifiable à gauche. On prouvera de même que ''a'' est simplifiable à droite, donc ''a'' est simplifiable.

Preuve par récurrence sur ''n''. Si n = 0, les deux membres de la thèse sont égaux à 1, donc la thèse est vraie dans ce cas. Supposons que ''n'' soit un nombre naturel > 0 et que la thèse soit vraie pour n - 1 au lieu de ''n'', et prouvons que la thèse est vraie pour ''n''.Puisque x_n commute avec chacun des éléments y₁, ... , y_n-1, nous pouvons remplacer, dans le premier membre de la thèse, x_n y₁ ... y_n-1 par y₁ ... y_n-1 x_n, donc:x₁ ... x_n y₁ ... y_n = x₁ ... x_n-1 y₁ ... y_n-1 x_n y_n.Par hypothèse de récurrence, nous pouvons remplacer dans la second membre x₁ ... x_n-1 y₁ ... y_n-1 par x₁ y₁ ... x_n-1

On pose , alors : Il est alors possible de trouver tel que et , la quantité de départ s'écrit ainsi : La démonstration s'achève en identifiant ''C'' et ''D''.

On calcule le champ par la méthode directe pour un point M de cote z>0:* Tout plan contenant (Oz) est plan de symétrie de la distribution, donc pour tout point M de (Oz), est suivant * On utilise comme surface élémentaire une '''couronne élémentaire''' de ''rayon r'', d'''épaisseur dr''. Cette couronne est vue sous un angle depuis le point M. On intégrera suivant pour « balayer » toute la surface de la couronne.* La surface de cette couronne élémentaire est . Le champ créé en M par cette couronne élémentaire est donc * Comme on veut intégrer suivant

Dans ce cas où la symétrie est « très prononcée », on a tendance à utiliser '''le théorème de Gauss'''.* Il existe deux plans orthogonaux contenant (OM) qui sont des plans de symétrie de la distribution donc * La distribution est invariante par toute rotation, donc * On choisit pour surface de Gauss une '''sphère , de centre O et de rayon r''' (en vert sur le dessin). Il apparaît deux cas dans la résolution :** '''Premier cas :''' :

Or
Donc

On calcule le potentiel par la méthode directe pour un point M de cote z>0:* On utilise comme surface élémentaire une '''couronne élémentaire''' de ''rayon r'', d'''épaisseur dr''. Cette couronne est vue sous un angle depuis le point M. On intégrera suivant pour « balayer » toute la surface de la couronne.* La surface de cette couronne élémentaire est . Le potentiel créé en M par cette couronne élémentaire est donc * Comme on veut intégrer suivant , on va chercher à tout exprimer en fonction de et ''z'':** donc **

Grâce au théorème de Gauss, on a calculé le champ en tout point : Comme et que ne dépend que de r : , d'où Dans notre étude particulière, deux cas se présentent :* '''Premier cas :''' :

Donc
En prenant